ધારો કે $a = i - k$, $b = xi + j + (1 - x)k$, અને $c = yi + xj + (1 + x - y)k$ છે. તો $[a\,b\,c]$ કોના પર આધાર રાખે છે?

જો સદિશો $i+3j-2k$,$2i-j+4k$ અને $3i+2j+xk$ સમતલીય હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

જો $2i + 3j$,$i + j + k$ અને $\lambda i + 4j + 2k$ ને ક્રમમાં લેતા તે $2$ ઘન એકમ ઘનફળ ધરાવતા સમાંતરફલક (parallelepiped) ની ધાર હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

$\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ એ અસમતલીય સદિશો છે જેથી $\overrightarrow{P} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$,$\overrightarrow{Q} = 4\overrightarrow{a} + 3\overrightarrow{b} + 4\overrightarrow{c}$ અને $\overrightarrow{R} = \overrightarrow{a} + \alpha\overrightarrow{b} + \beta\overrightarrow{c}$ એ સુરેખ રીતે આધારિત સદિશો છે. તો $\alpha$ ની શક્ય કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો હોય અને $\vec{p}, \vec{q}, \vec{r}$ ને $\vec{p} = \frac{\vec{b} \times \vec{c}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{q} = \frac{\vec{c} \times \vec{a}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}, \vec{r} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{[\vec{a} \vec{b} \vec{c}]}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે, તો $[(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{p} + (\vec{b} + \vec{c}) \cdot \vec{q} + (\vec{c} + \vec{a}) \cdot \vec{r}]$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}-\alpha \hat{j}+\beta \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}+\beta \hat{j}-\alpha \hat{k}$ અને $\vec{c}=-\alpha \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ પૂર્ણાંકો છે. જો $\vec{a} \cdot \vec{b}=-1$ અને $\vec{b} \cdot \vec{c}=10$ હોય,તો $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$ ની કિંમત $.....$ છે.